"Nahé štatistika" - najzaujímavejšie kniha o najnudnejší vedy

Riddle Monty Hall

"Riddle of Monty Hall" - známy problém teórie pravdepodobnosti, zmiasť účastníkov herné show s názvom Poďme Dohodnite ( «uzavrieť dohodu"), je stále populárny v niektorých krajinách, ktorý mal premiéru v Spojených štátoch v roku 1963 ročne. (Spomínam si, že zakaždým, keď som sledoval túto výstavu ako dieťa, keď nechodí do školy z dôvodu choroby.) V úvode ku knihe, už som poukázal na to, že v tejto hernej show môže byť zaujímavé štatistiky. Na konci svojho release party do finále, stane sa Monti sále pred tromi veľkými dverami: № 1, 2 dvierka a dvierka № № 3. Monty Hall vysvetlila finalistka, ktorá je veľmi cenná výhra skrytý za jedným z týchto dverí - napríklad nové auto, ale aj pre ostatných dvoch - koza. Finalistka museli vybrať jednu z dverí a dostať to, čo je za ním. (Neviem, či tam bol medzi účastníkmi prehliadky aspoň jedna osoba, ktorá chce získať kozu, ale pre jednoduchosť budeme predpokladať, že drvivá väčšina účastníkov sníval nový automobil.)

Počiatočná pravdepodobnosť výhry je pomerne jednoduché určiť. K dispozícii sú tri dvere, s dvomi kozej kože, a za tretie - auto. Keď účastníci prehliadky spolu s Monty Hall stojí pred týmito dverami, má jedinú šancu v troch zvoliť dvere, za ktorými je automobil. Ale, ako už bolo uvedené vyššie, poďme sa dohovoriť spočíva trik, zvečnil tento televízny program a jeho vedenie v literatúre o teórii pravdepodobnosti. Po finále prehliadky bude poukázať na niektoré z troch dverí, Monty Hall otvorí jednu z dvoch zostávajúcich dverí, za ktorými je vždy koza. Potom Monty Hall pýta finalistka, či chce zmeniť svoj názor, to znamená opustiť skôr zvolenej nimi zavreli dvere do ďalšej dvere zatvorené.

Povedzme napríklad, že používateľ zadal číslo na dverách 1. Monty Hall potom otvoril dvere číslo 3, za ktorým kozu. Dvoje dvere, dvere číslo 1 a číslo 2 pozostatky dvere zavreli ako predtým. Ak je cena je za radom dverí 1, finále by vyhral, ​​ale keď za dverami číslo 2, bol by stratený. To bolo v tomto okamihu Monty Hall sa odkazuje na hráča s otázkou, či chce zmeniť svoj prvotný výber (v tomto prípade odmietnuť dverí číslo 1 v prospech dvere číslo 2). Samozrejme, že si uvedomiť, že oboje dvere zatvorené, kým. Jediné nové informácie, ktoré účastník dostal, je to, že dieťa bolo za jednu z dvoch dverí, ktorý nemal vyberať.

Do finále by sa malo upustiť v prospech pôvodného výbere dverí číslo 2?

Odpoveď znie: áno, má. Ak sa bude držať pôvodný výber, pravdepodobnosť víťazstva im cennú výhru bude ⅓; ak sa zmení svoj názor a bude ukazovať na číslo dverí 2, bude pravdepodobnosť výhry hodnotnú cenu za ⅔. Ak mi neveríte, čítajte ďalej.

Priznám sa, že táto reakcia na prvý pohľad ďaleko od zrejmý. Zdá sa, že bez ohľadu na to, z ďalších dvoch dverí si vybrali finalistov, pravdepodobnosť hodnotnú cenu v oboch prípadoch rovná ⅓. Existujú tri zatvorenými dverami. Spočiatku je pravdepodobnosť, že výhra sa skrýva za všetky z nich je ⅓. Je už rozhodnutie hodnota finalista zmeniť ich voľbu v prospech iného zatvorenými dverami?

Samozrejme, pretože závesu je, že Monty Hall vie, čo je za každými dverami. Ak sa Finalistka zvolí dvere číslo 1, a to bude skutočne byť kabína, Monty Hall môže otvoriť akékoľvek dvere číslo dverí 2 alebo číslo 3, ukázať kozu, skrývajúci sa za ním.

Ak sa Finalistka zvolí dvere číslo 1 a vozidlo bude za dverami číslo 2, Monty Hall otvorí dvere číslo 3.

V prípade, že súťažiaci uvedie číslo dverí 1 a vozidlo bude za dverami číslo 3, Monty Hall otvorí dvere číslo 2.

On zmenil jeho názor po tom, čo vedúci otvorení dverí, finalista dostane výberovú výhodu dvoma dverami namiesto jedného. Pokúsim sa vás presvedčiť o správnosti tejto analýzy tromi rôznymi spôsobmi.

Prvý z nich - empirický. V roku 2008, stĺpiky pre noviny The New York Times, John Tayerni písomný materiál o "fenoméne Monty Hall." Potom, čo zamestnanci publikácia vyvinula interaktívny program, ktorý vám umožní hrať túto hru a sami rozhodnúť, zmeniť svoje pôvodné voľbu, alebo nie. (Program dokonca ponúka malé kozy a avtomobilchiki, ktoré sa objavujú spoza dverí.) Program Zachytáva svoje výhry, ak zmeníte počiatočné voľbu, a keď odišiel do jeho vlastnej názor. Zaplatil som jednu zo svojich dcér pre ňu hrať túto hru 100x, zakaždým mení počiatočné výber. Tiež som zaplatil svojmu bratovi, aby aj on hral túto hru 100x, zakaždým, keď opúšťa pôvodné rozhodnutie. Dcéra získala 72-krát; jej brat - 33 krát. Úsilie bolo odmenené raz za dva doláre.

Tieto epizódy z hry poďme urobiť dohodu ukazujú rovnaký vzor. Podľa Leonard Mlodinovu, autor Opilec chodníka, ty finalistov, ktorí zmenili svoj počiatočné výber víťaza je približne dvakrát častejšie ako tí, ktorí zostali na svojich názor.

Môj druhý vysvetlenie tohto javu je založená na intuíciu. Povedzme, že pravidlá hry sa mierne zmenila. Napríklad finalistov začína výberom jednej z troch dverí: Dvere № 1 № Dvere Dvere № 2 a 3, tak, ako bol pôvodne k dispozícii. Ale potom, pred otvorením niektorých dverí, za ktorými sa skrýva kozu, Monty Hall sa pýta: "Súhlasíte s tým, aby sa vzdali svojich Voľba výmenou za otvorenie zostávajúcich dvoje dvere? "Takže, ak zvolíte dvere číslo 1, môžete zmeniť svoj názor v prospech číslo 2 Dvere a Dvere čísla 3. V prípade prvého bodu na číslo 3 pre vráta, môžete si vybrať dvere číslo 1 a číslo 2 dvere. A tak ďalej.

Pre vás by to nebolo zvlášť ťažké rozhodnutie: je zrejmé, že by ste mali odmietnuť na počiatočné voľbu v prospech ďalších dvoch dverí, pretože to zvyšuje šance na výhru s ⅓ do ⅔. Najzaujímavejšie je, že je v podstate verzia Monty Hall ponúka skutočnú hru, po otvorených dverí, za ktorými sa skrýva kozu. Základným faktom je, že ak ste dostali možnosť zvoliť dvoje dvere, za jedným z nich, v každom prípade by sa skrýva kozu. Keď Monty Hall otvorí dvere, za ktorými je koza, a až potom vás požiada Súhlasíte s tým, aby zmenili svoje pôvodné voľby, to výrazne zvyšuje vaše šance na výhru cenná výhra! V skutočnosti, Monty Hall vám povie, "pravdepodobnosť, že výhra sa skrýva za jedným z dvoch dverí, ktoré ste zvolili prvýkrát, je ⅔, ale je to stále viac ako ⅓!»

To možno znázorniť nasledujúcim spôsobom. Povedzme, že je uvedené číslo dverí 1. Po tom Monty Hall vám dáva možnosť upustiť od pôvodného rozhodnutia v prospech dvere číslo 2 a číslo 3 Doors. Súhlasíte a mať k dispozícii dvoje dvere, čo znamená, že máte všetky dôvody očakávať, že vyhrať hodnotnú cenu s pravdepodobnosťou ⅔, skôr než ⅓. Čo by sa stalo, keby v tej chvíli, Monty Hall otvoril dvere číslo 3 - jeden zo "svojho" dvere - a ukázalo sa, že je koza? by sa triasť, že dôveru v rozhodnutí? Samozrejme, že nie. Ak je vozidlo skrýva za dverami číslo tri, Monty Hall by otvoril dvere číslo 2! Nemal ukázať vám nič.

Keď je hra na nakatannomu scenári, Monty Hall naozaj vám dáva na výber medzi dverami, ste zadali na začiatku, a zostávajúce dve dvere, za jeden z nich môže byť auto. Keď Monty Hall otvorí dvere, za ktorými koza, to jednoducho vám poskytuje službu tým, že preukáže, pre ktorú z týchto dvoch iných dverí nemajú auto. Máte rovnakú pravdepodobnosť výhry v oboch nasledujúcich scenároch.

1. Výberom dverí číslo 1, potom je súhlas "prepnúť" na dverách číslo 2 a číslo 3 dverami, než ako sa otvoria akékoľvek dvere.
2. Výberom dverí číslo 1, potom je súhlas "prepnúť" na dverách číslo 2 potom, čo Monty Hall ukáže kozie počtu dverí 3 (alebo vybrať dvere číslo 3, po Monty Hall ukáže kozu za číslo dverí 2).

V oboch prípadoch sa odmietnutia pôvodného riešenia vám poskytuje výhodu dvoch dverí, v porovnaní s jednou a vy sa tak môžete zdvojnásobiť svoje šance na výhru: s ⅓ do ⅔.

Môj tretí prevedenie predstavuje radikálnejšie verzii rovnakého základného intuície. Predpokladajme, že Monty Hall ponúka vám vybrať jeden z 100 dverí (namiesto jedného z troch). Akonáhle to urobíte, povedzme, smerujúce k dverám číslo 47, otvára zvyšných 98 dverí, za ktorými sú kozy. Teraz zatvorené dvere sú len dva: vaše číslo dverí 47, a ďalšie, ako napríklad dverí číslo 61. Mali by ste opustiť svoj prvý výber?

Samozrejme áno! S 99 percent pravdepodobnosť auto je za jednými dverami, ktoré si vyberiete na začiatku. Monty Hall vám dal milosť tým, že otvorí 98 týchto dverí, auto nebolo pre nich. Tak, tam je len jeden zo 100 šanca, že vaše pôvodné voľba (číslo dverí 47) bude správne. Zároveň je tu 99 z 100 šanca, že vaša prvá voľba je zlé. Ak áno, potom auto je za zostávajúce dvere, potom je číslo dverí 61. Ak chcete hrať so šancou na výhru 99 krát zo 100, potom je potrebné, aby "switch" na dvere číslo 61.

Stručne povedané, ak budete mať na účasť v Urobme Deal hru, budete určite potrebovať dať zo svojho pôvodného rozhodnutia, kedy bude Monty Hall (alebo ten, kto bude jeho zástupca) poskytne príležitosť na voľba. Univerzálnejšie záver z tohto príkladu je, že vaša intuícia o pravdepodobnosti výskytu určitých udalostí vám môže niekedy klamať.

"Naked Statistics" Charles Whelan

Kúpiť na Litres.ru