Analytická geometria - bezplatný kurz od Open Education, školenie 13 týždňov, cca 5 hodín týždenne, Termín 29.11.2023.

Ocenenia a úspechy Cena ruskej vlády v oblasti vzdelávania za rok 2010, ctený učiteľ MIPT.

Kurz pozostáva z 12 tréningových týždňov a jedného skúšobného týždňa

1. týždeň Matrice

01.00 Úvod

01.01 Definícia matice

01.02 Operácie s maticami

01.02.01 Problém. Výpočet lineárnej kombinácie matíc

02/01/02 Problém. Nájdenie transponovanej matice

01.03 Súčin matíc. Časť 1

01.04 Súčin matíc. Časť 2

04/01/01 Problém. Výpočet súčinu matíc

04/01/02 Problém. Kontrola existencie produktu a jeho výpočet 

04/01/03 Problém. Výpočet matice na n-tú mocninu. Príklad 1

04/01/04 Problém. Výpočet matice na n-tú mocninu. Príklad 2

04/01/05 Problém. Výpočet maticového polynómu

04/01/06 Problém. Kontrola platnosti maticovej rovnosti

04/01/07 Problém. Výpočet matice na číselnú mocninu

01.05 Maticový determinant

01.05.01 Problém. Výpočet determinantu matice

01.06 Cramerovo pravidlo

06/01/01 Problém. Riešenie sústavy lineárnych rovníc Cramerovou metódou

2. týždeň vektory

02.01 Určenie smerovaného segmentu, vektor

02.02 Opakovanie zo školského kurzu geometrie 

02.02.01 Problém. Dôkaz nerovnosti pre štvoruholník v priestore

02.02.02 Problém. Dôkaz rovnosti pre n-uholník

02.03 Lineárna kombinácia vektorov

02.04 Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov 

02.05 Kritérium lineárnej závislosti sústavy vektorov

02.06 Základ

02.06.01 Problém. Nájdenie vektorových súradníc

02.06.02 Problém. Nájdenie súradníc rovnobežnostena pomocou vektorov

02.07 Výmena základne

07/02/01 Problém. Nájdenie súradníc hranolového bodu v novom súradnicovom systéme

07/02/02 Problém. Nájdenie súradníc bodu rovnobežníka v novom súradnicovom systéme

02.08 Kartézsky súradnicový systém (DCS)

02.08.01 Problém. Kontrola, či vektory tvoria základ

02.09 Výmena ODSC

02.09.01 Problém. Hľadanie súradníc počiatku a základných vektorov v novom a starom súradnicovom systéme

02.09.02 Problém. Nájdenie súradníc vektora v novom základe prostredníctvom súradníc v starom základe

3. týždeň Súčin vektorov

03.01 Bodový súčin vektorov

03.02 Projekcia vektora na nenulový vektor

03.03 Vlastnosti skalárneho súčinu vektorov. Časť 1

03.04 Vlastnosti skalárneho súčinu vektorov. Časť 2

04/03/01 Problém. Zisťovanie dĺžok strán a uhlov rovnobežníka pomocou základných vektorov

04/03/02 Problém. Nájdenie ortogonálneho priemetu vektora na priamku

03.05 Orientácia základov. Orientované objemy a plochy

03.06 Zmiešaný súčin vektorov. Časť 1

03.07 Zmiešaný súčin vektorov. Časť 2

03.08 Vektorový súčin vektorov. Časť 1

03.09 Vektorový súčin vektorov. Časť 2

03.09.01 Problém. Dôkaz koplanarity vektorov

03.09.02 Problém. Nájdenie oblasti trojuholníka pomocou vektorových súradníc

09/03/03 Problém. Dôkaz rovnosti pre nekolineárne vektory

09/03/04 Problém. Zistenie objemu štvorstenu a jeho výšky

03.10 Dvojitý krížový produkt

03.10.1 Problém. Dôkaz identity

03.11 Vzájomný základ

4. týždeň Časť 1. Lietadlo vo vesmíre

04.01 Definícia roviny v priestore

04.02 Rôzne formy zápisu rovnice roviny

04.03 Všeobecná rovinná rovnica

04.03.01 Problém. Rovinná rovnica

4. týždeň Časť 2. Priamo v lietadle. Priamka a rovina v priestore

04.04 Priamka na rovine

04.04.01 Problém. Nájdenie vektora polomeru bodu

04.04.02 Problém. Podmienky pre priesečník, rovnobežnosť a kolmosť priamok v rovine

04.05 Všeobecná rovnica priamky na rovine. Rovná čiara v priestore

04.05.01 Problém. Nájdenie vektora polomeru priesečníka čiar

04.05.02 Problém. Rovnica priamky pretínajúcej dve šikmé priamky

04.05.03 Problém. Rovnica priamky prechádzajúcej bodom a rovnobežnej s inou priamkou

04.05.04 Problém. Podmienka pre priesečník priamky a roviny

04.06 Vzájomné usporiadanie čiar a rovín

06/04/01 Problém. Rovnica roviny prechádzajúcej bodom a rovnobežnej s dvoma priamkami

06/04/02 Problém. Rovnica roviny prechádzajúcej jednou priamkou a rovnobežnej s druhou priamkou

04.07 Priamka a rovina v PDSC

04.07.01 Problém. Rovnica priamok prechádzajúcich jedným bodom a rovnako vzdialených od dvoch ďalších bodov

04.07.02 Problém. Rovnica osy uhla medzi priamkami

04.08 Niektoré metrické problémy v PDSC. Časť 1

04.08.01 Problém. Rovnica priamok rovnobežných s inou priamkou a oddelených od bodu v určitej vzdialenosti

04.08.02 Problém. Všeobecná rovnica roviny prechádzajúcej nejakým bodom a priamkou. Vzdialenosť od tejto roviny k danému bodu

04.09 Niektoré metrické problémy v PDSC. Časť 2

04.09.01 Problém. Vzdialenosť medzi čiarami

5. týždeň Algebraické čiary druhého rádu v rovine

05.01 Definícia algebraických čiar a plôch

05.02 Čiary druhého rádu v lietadle. Elipsová rovnica

05.03 Rovnica imaginárnej elipsy, dvojice imaginárnych priesečníkov, hyperbola, dvojica pretínajúcich sa čiar

05.04 Rovnica paraboly, dvojice rovnobežiek, dvojice imaginárnych rovnobežiek, dvojice zhodných priamok

05.05 Stred čiary. Eliptické a hyperbolické čiary

05.05.01 Problém. Typ krivky druhého rádu definovaný nejakou rovnicou. Kanonická rovnica krivky a kanonický súradnicový systém. Príklad 1

05.05.02 Problém. Typ krivky druhého rádu definovaný nejakou rovnicou. Kanonická rovnica krivky a kanonický súradnicový systém. Príklad 2

05.05.03 Problém. Typ krivky druhého rádu definovaný nejakou rovnicou. Kanonická rovnica krivky a kanonický súradnicový systém. Príklad 3

6. týždeň Štúdium vlastností elipsy, hyperboly a paraboly

06.01 Elipsa

01/06/01 Problém. Rovnica kanonickej elipsy

06.02 Vlastnosti elipsy

06.03 Rovnica dotyčnice k elipse

03/06/01 Problém. Rovnica dotyčníc k elipse

03/06/02 Problém. Uhol medzi dotyčnicou a osou Ox

06.04 Hyperbola

04/06/01 Problém. Excentricita hyperboly

06.05 Geometrické vlastnosti hyperboly

05/06/01 Problém. Dôkaz nemennosti súčinu vzdialenosti od ktoréhokoľvek bodu hyperboly k jej asymptotám

06.06 Parabola

06.06.01 Problém. Parabolická rovnica

06.06.02 Problém. Rovnice dotyčníc k parabole

06.07 Elipsa, hyperbola a parabola v polárnom súradnicovom systéme

7. týždeň Povrch druhého rádu

07.01 Plocha otáčania

07.02 Elipsoid

07.03 Kužeľ druhého rádu

07.04 Jednolistový hyperboloid

07.05 Priamočiare generátory jednovrstvového hyperboloidu

07.06 Dvojlistový hyperboloid, eliptický a hyperbolický paraboloid

06/07/01 Problém. Určenie typu povrchu

06/07/02 Problém. Spoločné body priamky a plochy druhého rádu

06/07/03 Problém. Parametrické rovnice priamočiarych generátorov daného povrchu

06/07/04 Problém. Typ povrchu vytvorený rotáciou priamky

8. týždeň Mapovania a transformácie

08.01 Definícia mapovania a transformácie

08.02 Mapovanie typu one-to-one. Súčin zobrazení

08.03 Vlastnosti súčinu rovinných premien. Súradnicové zaznamenávanie máp

08.04 Ortogonálne rovinné transformácie

08.05 Lineárne a afinné transformácie

08.06 Obraz vektora počas lineárnej transformácie. Časť 1

08.07 Obraz vektora počas lineárnej transformácie. Časť 2

08.08 Geometrické vlastnosti afinných transformácií

08.08.01 Problém. Symetria okolo priamky

08.08.02 Problém. Afinná transformácia roviny, ktorá preberá dané čiary do seba a daný bod do nejakého iného bodu

08.09 Zmena oblastí počas afinnej transformácie

08.10 Obrazy čiar druhého rádu pod afinnou transformáciou

08.10.01 Problém. Typ krivky druhého rádu

08.10.02 Problém. Dôkaz rovnosti súčtov obsahov trojuholníkov

08.11 Rozklad afinnej premeny

08.11.01 Problém. Znázornenie danej afinnej transformácie ako produktov troch transformácií

9. týždeň Determinanty matíc n-tého rádu

09.01 Determinanty

01/09/01 Problém. Determinant rádu č. Príklad 1

01/09/02 Problém. Determinant rádu č. Príklad 2

09.02 Vlastnosti determinantu. Časť 1

09.03 Vlastnosti determinantu. Časť 2

09.04 Vlastnosti determinantu. Časť 3

04/09/01 Problém. Vandermondov determinant

04/09/02 Problém. Determinant rádu 2n

09.05 Vzorec na úplný vývoj determinantu

05/09/01 Problém. Kompletný vzorec rozkladu pre maticu piateho rádu

09.06 SLAU v špeciálnom prípade

09.07 Cramerovo pravidlo vo všeobecnom prípade

10. týždeň Hodnosť matice

10.01 Neplnoletí svojvoľného poriadku

10.02 Poradie v matici

02/10/01 Problém. Hodnostný a základný systém maticových stĺpcov

02/10/02 Problém. Odhad poradia matice rádu č

02/10/03 Problém. Dôkaz poradovej nerovnosti pre všetky matice rovnakej veľkosti

02/10/04 Problém. Nenulová minor radu r matice hodnosti r

02/10/05 Problém. Odhad poradia matice

10.03 Redukcia matice na zjednodušenú formu

10.04 Gaussova metóda

10.05 Základná vedľajšia veta

05/10/01 Problém. Znázornenie matice prostredníctvom súčinu matíc

10.06 Veta o poradí matice

06/10/01 Problém. Horná hranica pre hodnosť súčinu dvoch matíc

06/10/02 Problém. Dôkaz o rovnosti postavenia matice s najvyšším poradím jej neplnoletých osôb

11. týždeň inverzná matica

11.01 Definícia inverznej matice

11.02 Vyjadrenie prvkov inverznej matice prostredníctvom prvkov pôvodnej matice

 02/11/01 Problém. Výpočet inverznej matice. Príklad 1

02/11/02 Problém. Nájdenie inverznej matice. Príklad 2

11.03 Vlastnosti inverznej matice

03/11/01 Problém. Kontrola platnosti identity pre matriky

11.04 Ďalší dôkaz existencie inverznej matice pre nesingulárnu štvorcovú maticu

11.05 Charakteristický polynóm matice

05/11/01 Problém. inverzná matica

11.06 Hamiltonova-Cayleyho veta

11.07 Elementárne transformácie ako násobenie matíc

07/11/01 Problém. Výpočet inverznej matice pomocou elementárnych transformácií. Príklad 1

07/11/02 Problém. Nájdenie inverznej matice. Príklad 2

12. týždeň Všeobecná teória lineárnych systémov

12.01 Kronecker-Capelliho veta

12.02 Fredholmova veta

12.03 Všeobecné riešenie nehomogénnych SLAE

12.04 Základná matica homogénneho SLAE. Časť 1

12.05 Základná matica homogénneho SLAE. Časť 2

05.12.01 Problém. Základná matica SLAE

05.12.02 Problém. Kontrola základnej matice SLAE

05.12.03 Problém. Riešenie SLAE

05.12.04 Problém. Všeobecný pohľad na ľubovoľnú základnú maticu SLAE

05/12/05 Problém. Podmienka rovnocennosti pre SLAE

12.06 Všeobecné riešenie nehomogénnych SLAE

06/12/01 Problém. Riešenie SLAE

06.12.02 Problém. Kompatibilita heterogénnych SLAE

13. týždeň Záverečné skúšky