„Rovnice matematickej fyziky“ - kurz 2800 rub. z MsÚ, tréning 15 týždňov. (4 mesiace), Dátum: 30. november 2023.
Rôzne / / December 02, 2023
Kurz je určený pre bakalárov, magistrov a špecialistov so špecializáciou v matematických, inžinierskych alebo prírodovedných odboroch, ako aj pre vysokoškolských pedagógov. Cieľom predmetu je uviesť študenta do radu klasických problémov v oblasti rovníc s matematickou fyzikou a naučiť študenta základné metódy štúdia takýchto rovníc. Predmet zahŕňa klasické učivo o rovniciach matematickej fyziky (parciálne diferenciálne rovnice) v rámci jedného semestra štúdia. Časti „Lineárne a kvázilineárne rovnice prvého rádu“, „Klasifikácia lineárnych rovníc“, „Vlnová rovnica“, „Parabolická rovnica“, „Základné riešenia“, „Laplaceova rovnica.“ Zoznámime sa s klasickými formuláciami problémov – Cauchyho problémom, hraničný problém. Osvojme si základné metódy štúdia rovníc – priama integrácia, metóda pokračovania riešení, Fourierova metóda, metóda fundamentálnych riešení, metóda potenciálov. Odvodenie týchto rovníc si budeme často pripomínať v úlohách matematickej fyziky a limity použiteľnosti našich modelov.
Forma štúdia
Korešpondenčné kurzy využívajúce technológie dištančného vzdelávania
Požiadavky na prijatie
Dostupnosť VO alebo SPO
2
kurzDoktor fyzikálnych a matematických vied, Profesor Funkcia: Profesor Katedry základnej a aplikovanej matematiky Fakulty vesmírneho výskumu Moskovskej štátnej univerzity pomenovanej po M. V. Lomonosovovi
1. Prvé stretnutie.
Úvodné slovo. Základné princípy práce s rovnicami matematickej fyziky. Príklady jednoduchých rovníc. Klasifikácia. Riešenie jednoduchých rovníc ich redukciou na obyčajné diferenciálne rovnice. Nahradenie premenných v rovnici.
2. Rovnice prvého poriadku – lineárne a kvázilineárne.
Lineárne rovnice. Nájdenie vhodnej náhrady - zostavenie a riešenie sústavy obyčajných diferenciálnych rovníc prvého rádu. Prvé integrály systému. Charakteristika. Kvázilineárne rovnice. Hľadanie riešenia v implicitnej forme.
3. Cauchy problém. Klasifikácia lineárnych rovníc druhého rádu.
Vyhlásenie o probléme Cauchy. Veta o existencii a jedinečnosti riešenia Cauchyho problému. Klasifikácia lineárnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Redukcia na kanonickú formu.
4. Hyperbolické, parabolické a eliptické rovnice.
Klasifikácia lineárnych rovníc druhého rádu s premenlivými koeficientmi v rovine. Hyperbolický, parabolický a eliptický typ. Riešenie hyperbolických rovníc. Problémy s počiatočnými a okrajovými podmienkami.
5. Reťazcová rovnica.
Jednorozmerná vlnová rovnica na celej osi. Vlna dopredu a dozadu. d'Alembertov vzorec. Duhamelov integrál. Okrajové podmienky pre rovnicu na poloosi. Základné typy okrajových podmienok. Pokračovanie riešenia. Prípad konečného segmentu.
6. Fourierova metóda s použitím strunovej rovnice ako príkladu.
Myšlienka Fourierovej metódy. Prvým krokom je nájsť základ. Druhým krokom je získanie obyčajných diferenciálnych rovníc pre Fourierove koeficienty. Tretím krokom je zohľadnenie počiatočných údajov. Konvergencia radov.
7. Difúzna rovnica (konečný segment).
Odvodenie rovnice. Stanovenie problémov (počiatočné a okrajové podmienky). Fourierova metóda. Berúc do úvahy pravú stranu a nehomogenitu v okrajových podmienkach. Konvergencia radov.
8. Difúzna rovnica (celá os).
Fourierova transformácia, inverzný vzorec. Riešenie rovnice pomocou Fourierovej transformácie. Veta – zdôvodnenie metódy (dva prípady). Poissonov vzorec. Prípad rovnice s pravou stranou.
9. Zovšeobecnené funkcie.
Písanie Poissonovho vzorca ako konvolúcie. Záznam vo forme konvolúcie riešenia tepelnej rovnice na konečnom segmente. Schwartzova trieda. Príklady funkcií z triedy. Definícia zovšeobecnených funkcií, spojenie s klasickými funkciami. Násobenie zovšeobecnenej funkcie základnou funkciou, diferenciácia. Konvergencia zovšeobecnených funkcií. Príklady generických funkcií.
10. Práca s generickými funkciami.
Riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc vo zovšeobecnených funkciách. Fourierova transformácia zovšeobecnených funkcií. Konvolúcia. Priamy produkt. Nosič zovšeobecnenej funkcie. Riešenie nehomogénnej jednorozmernej rovnice tepla pomocou základného riešenia. Základné riešenie bežného diferenciálneho operátora na intervale.
11. Základné riešenia.
Odvodenie Poissonovho vzorca pre viacrozmernú rovnicu tepla. Odvodenie Kirkhoffovho vzorca. Odvodenie Poissonovho vzorca pre vlnovú rovnicu. Riešenie úloh metódou separácie premenných, metódou superpozície.
12. Laplaceova rovnica.
Odvodenie Laplaceovej rovnice. Vektorové pole – potenciál, prúdenie cez povrch. Objemový potenciál. Jednoduchý vrstvový potenciál. Dvojvrstvový potenciál. Logaritmický potenciál.
13. Dirichletov problém, Neumannov problém a Greenova funkcia.
Harmonické funkcie. Slabý extrémny princíp. Harnackova veta. Prísny princíp maxima. Teorém jedinečnosti. Veta o strednej hodnote. Nekonečná hladkosť. Liouvillova veta. Greenov vzorec. Greenova funkcia, jej vlastnosti. Riešenie Poissonovej úlohy s Dirichletovými podmienkami pomocou Greenovej funkcie. Iné problémy s hraničnou hodnotou. Konštrukcia funkcie Greena metódou odrazu.
14. Viacrozmerná Fourierova metóda.
Riešenie úloh pomocou Fourierovej metódy. Rôzne okrajové podmienky. Besselove funkcie. Legendreho polynóm. Prehľad absolvovaného kurzu. Zhrnutie.